Kanıt kile oyulmuştur.

Kanıt kile oyulmuştur.

Yeterince uzun süre matematik çalışırsanız muhtemelen Pisagor'un ismine lanet okursunuz veya biraz üçgen hayranıysanız "Pisagor'a hamdolsun" dersiniz.

♦ Pisagor Teoremi Pisagor’dan 1000 Yıl Eski Kil Tablette Bulundu

Pisagor’dan 1000 yıldan fazla bir süre öncesine dayanır.

-Yeterince uzun süre matematik çalışırsanız muhtemelen Pisagor’un ismine lanet okursunuz veya biraz üçgen hayranıysanız “Pisagor’a hamdolsun” dersiniz..

Ancak Pisagor matematiğin gelişiminde önemli bir tarihsel figür olmasına rağmen kendisiyle en çok ilişkilendirilen denklemi (a 2 + b 2 = c 2 ) çözemedi .

Aslında, bir dikdörtgenin içindeki köşegenin uzunluğunu çözmek için Pisagor teoremini kullanan eski bir Babil tableti (IM 67118 gibi akılda kalıcı adıyla) vardır..

-Muhtemelen öğretim amacıyla kullanılan tablet, MÖ 1770’e , yani Pisagor’un MÖ 570 civarında doğmasından yüzyıllar öncesine aittir .

MÖ 1800-1600 civarına ait başka bir tabletin içinde üçgen etiketli bir kare vardır. 60 tabanındaki (eski Babilliler tarafından kullanılan sayma sistemi) işaretlerin tercümesi, bu eski matematikçilerin Pisagor teoreminin (tabii ki bu şekilde adlandırılmıyor) yanı sıra diğer ileri matematik kavramlarının da farkında olduklarını gösterdi..

 

Matematikçi Bruce Ratner konuyla ilgili bir makalesinde şöyle yazıyor…

–   Bruce Ratner

-“Sonuç kaçınılmaz. Babilliler bir karenin köşegeninin uzunluğu ile kenarı arasındaki ilişkiyi biliyorlardı: d=2’nin karekökü.”

-“Bu muhtemelen irrasyonel olduğu bilinen ilk sayıydı. Ancak bu onların Pisagor Teoremine veya en azından karenin köşegenine ilişkin özel duruma (d 2 = a 2) aşina oldukları anlamına  geliyor  + a  = 2a 2 ) – adını aldığı büyük bilgeden bin yıldan fazla süre önce.”

Kanıt kile oyulmuştur.
Kanıt kile oyulmuştur.

 

♦ Peki bu neden Pisagor’a atfedildi? 

Pisagor’un hiçbir orijinal yazısı günümüze ulaşmamıştır. Onun hakkında bildiklerimiz başkaları tarafından, özellikle de günümüzün güney İtalya’sında kurduğu bir okulun üyeleri olan Pisagorcular tarafından aktarıldı..

-Pisagor’un Yarım Dairesi adı verilen okul gizliydi, ancak orada öğrenilen veya keşfedilen bilgiler aktarılıyor ve çoğu zaman adamın kendisine atfediliyor.

–   Bruce Ratner:

-“Pisagor’un orijinal kaynaklarının nadir olmasının bir nedeni, yazılı materyal az olduğundan Pisagor bilgisinin bir nesilden diğerine ağızdan ağza aktarılmasıydı.”

-“Ayrıca, liderlerine duydukları saygıdan ötürü, Pisagorcular tarafından yapılan keşiflerin çoğu Pisagor’un kendisine atfedildi; bu, ‘Pisagor Teoremi’ terimini açıklayabilir.”

Her ne kadar Pisagor teoriyi ortaya koymamış olsa da, okulu onu kesinlikle popüler hale getirdi ve en azından

sonraki birkaç bin yıl boyunca teori onunla ilişkilendirildi.

♦ Pisagor’a ait değildi

 

Pisagor’un bu teoriyi keşfettiği için o kadar gurur duyduğuna dair bir efsane vardır ki, Proclus’un Öklid’in kanıtı üzerine yaptığı yoruma göre şöyle yazar: “Antik eserleri kaydetmeyi sevenleri dinlersek, onların bu teoremi Pisagor’a atfettiklerini ve şöyle dediklerini görürüz: bulununca bir öküz kurban etti.”

 

Ancak bu sadece bir efsane..

Pisagor bu teoremi keşfetmedi ve bu teoremin Pisagor’un doğmasından 1000 yıl önce var olduğunu kanıtlayacak somut kanıtlar var..

-Bu kanıt dört antik çivi yazılı tableti içermektedir.

antik çivi yazılı tablet
antik çivi yazılı tablet

YBC 7289 (tabletin arkası) — CC0 — Kamu malı
YBC 7289 (tabletin arkası) — CC0 — Kamu malı

Bunlardan ilki YBC-7289 olarak adlandırılıyor ve M.Ö. 1800 ile 1600 yılları arasına tarihleniyor. Büyük olasılıkla güney Irak’ta bulundu.

-YBC 7289 tabletinin M.Ö. 1800 ile 1600 yılları arasında bir öğrenci tarafından yapıldığı belirlendi. Şu anda Yale Üniversitesi Kültürel Mirası Koruma Enstitüsü’nde sergilenen YBC 7289, Pisagor teoreminin sayısal kanıtını gösteren dört bitişik üçgeni ve gravürü gösteriyor.

Bu tablet, tanımlamak için ikizkenar dik üçgeni kullanan Pisagor teoremini göstermektedir.

2

altmışlık sistemi kullanıyor. Bir ikizkenar dik üçgen, özellikle bir dik üçgen, eşit uzunlukta iki kenara sahiptir, öyle ki birimler şu şekilde ölçülür:

1:1:2

Aşağıda gösterildiği gibi:

Grafik: Gabrielle Birchak
Grafik: Gabrielle Birchak

YBC 7289’un üzerindeki gravürler ve oymalar dörde bölünmüş bir kare ve bir dizi çipten oluşuyor..

-Bu, kötü şöhretli teoreme yaptığımız en eski yeniliklerden biridir: 2 +b 2 = c 2 , bu, bir dik üçgenin iki kısa kenarının karesinin toplandığında hipotenüsün karesine eşit olduğunu gösterir..

 

YBC 7289’daki matematik, eski Mezopotamya matematiğinde yaygın olarak kullanılan 60 tabanını kullanır. Şu anda ondalık sistemimizde belirtildiği gibi 10 tabanını kullanıyoruz. Öyleyse, bir sonraki sütuna geçmeden önce eski Mezopotamyalıların 10’a kadar saymak yerine, bir sonraki sütuna geçmeden önce toplamı 60’a çıkardığını hayal edin.

 

Temel 60 Sözleşmeleri

Mezopotamya’nın ilk yıllarında Sümerler bir sayıyı belirtmek için kamaları kullanıyorlardı. Semboller yüzlerce yıl boyunca gelişip değişse de, 60 tabanını kullanma süreci değişmedi. Sonuç olarak, sayısal kayıttan bağımsız olarak aşağıdaki süreç aynı kaldı..

 

Mevcut numaralandırma geleneğimizde 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 ve 10’u saymak için 10 tabanını kullanıyoruz. Ancak Babil matematiğinin aksine, sayılarımızı soldan sağa doğru okuyoruz. Sayıları okurken 10’un kuvvetleri..

 

Dolayısıyla 52.537 sayısı on tabanında olduğundan şu şekilde anlıyoruz:

10 tabanındaki en büyük sayı 50.000’dir. 5 x 10 4 = 50.000
İkinci en büyük 10 tabanlı sayı 2.000’dir. 2 x 10 3 = 2.000
Üçüncü en büyük 10 tabanlı sayı 500’dür. 5 x 10 2 = 500
Dördüncü en büyük 10 tabanındaki sayı 30’dur. 30 x 10 1 = 30
Son olarak en küçük sayı 7’dir. 7 x 1 = 7
TOPLAM 52.537
10 tabanındaki 52.537 sayısı

Ondalık bir değer kullanacak olsaydık aynı işlemi 37,25 sayısı için de şu şekilde kullanırız:

10 tabanındaki en büyük sayı 30’dur. 30 x 10 1 = 30
İkinci en büyük 10 tabanındaki sayı 7’dir. 7 x 1 = 7
Bir sonraki en büyük sayı 0,2’dir. 2×1/10 1 0,2
Son olarak son sayı 0,05’tir. 5 x 1/10 2 0,05
TOPLAM 37.25
10 tabanındaki 37,25 sayısı

60 tabanı, 10 tabanına çok benzer, çünkü kendi yerindeki her değer için sayı 1 ile 59 arasındadır. Ancak 10 tabanından farklı olarak 60 tabanında sayıları 60’ın katlarını bilmeden soldan sağa okuruz. sayıları topluyoruz.

Yani 4,160,425 sayısı 60 tabanında 19 , 15 , 40 ve 25 olarak yazılır . Bunu şu şekilde işliyoruz:

60 tabanlı en büyük sayı 19’dur. 19 x 60 3 = 4.104.000
İkinci en büyük 60 tabanlı sayı 15 sayısıdır. 15 x 60 2 = 54.000
Üçüncü en büyük 60 tabanlı sayı 40’tır. 40 x 60 1 = 2.400
60 tabanlı en küçük sayı 25’tir. 25 x 1 = 25
TOPLAM 4.160.425
60 tabanındaki 4.160.425 sayısı

Gravürlerin aşağıdaki açıklaması, taban 10 ile taban 60 arasında dönüştürülecektir.

YBC — 7289 (tabletin önü), Urcia, A., Yale Peabody Doğa Tarihi Müzesi,  http://peabody.yale.edu,  http://hdl.handle.net/10079/8931zqjtürev  çalışma, kullanıcı: Theodor Langhorne Franklin — Dosya:YBC-7289-OBV.jpg, Dosya:YBC-7289-REV.jpg, CC0,  https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=76347955
YBC — 7289 (tabletin önü), Urcia, A., Yale Peabody Doğa Tarihi Müzesi,

Sol üst köşede 30 sayısını temsil eden, dolayısıyla karenin kenarının 30 birimi temsil ettiğini gösteren üç oyma bulunmaktadır.

Ortadaki 1, 24, 51 ve 10 sayı kümesi, 1 sayısının tamamını ve aşağıdaki ondalık rakamın 60’a bölünmesiyle aşağıdaki gibi temsil eder:

1+2460+51602+10603=1.41421=2

Üçgenin kenarının uzunluğunu Pisagor teoremine uyguladığımızda şunu elde ederiz:

2 + b 2 = c 2

30 2 + 30 2 = c2

30 2 + 30 2 = c 2 = 900 + 900 = 1800 = 2 olduğuna göre

c’nin değerini bulmak için 1800’ün karekökünü şu şekilde alırız:

�2=1800
�=1800
�=1800=302=42.4264

Bu değer çivi yazılı tablette 42, 25, 35 sayılarından oluşan alt takımda görülmektedir. 60 tabanında çalıştığımız için 42 sayısının tamamını alıp diğer iki sayıyı 60’a böldüğümüzde şu değeri elde ederiz:

42+2560+35602=42.4264

O zamandan beri

�=42.4264=302

bunu bulduk

302+302=(302)2

Böylece kenarların oranı eşit olan bir ikizkenar üçgen görüyoruz.

30:30:302.

Bu oranı 30’a bölersek,

1:1:2

bu teoremi doğruluyor.

Si.427

Bir sonraki tablet Si.427 olarak etiketlenmiştir..

-Bu küçük tablet, 1894 yılında Fransız keşif ekibi tarafından Suriye’deki Tell Abu Habba’da kazılmıştır. Daha sonra İstanbul Arkeoloji Müzesi’nde muhafaza edildi ve arşivlendi. Ancak bu küçük tablet, 2021 yılında Avustralyalı profesör ve matematikçi David Mansfield’ın bu çivi yazılı tabletin amacını belirlemesine kadar meşhur olmadı. Bu tablet, bir alanın şematik diyagramını temsil eden bir dizi üçgen ve dikdörtgeni göstermektedir. Bu tablet aynı zamanda arazi sınırlarının ölçümlerini ayırt etmek için Pisagor üçlülerini de kullanıyor..

 

–    Dr. Mansfield:“Bu, kadastrocuların arazi sınırlarını tanımlamak için kullandıkları bir plan olan, Eski Babil dönemine ait kadastro belgesinin bilinen tek örneğidir. Bu durumda bize bir kısmı satıldıktan sonra bölünen bir tarlanın hukuki ve geometrik detaylarını anlatıyor.”

Plimpton 322 — Kamu malı
Plimpton 322 —

Plimpton 322

Plimpton 322’nin tarihi MÖ 1800’e kadar uzanıyor. Bu tablet, bir dizi Pisagor üçlüsü içerdiğinden, teoremin teorik bilgisini gösteren gravürleri göstermektedir. Çok büyük bir tablet değil. Yaklaşık bir cep telefonu boyutunda olup özel boyutları 12,7 santimetreye 8,8 santimetredir. Yani küçüktür..

 

On dokuzuncu yüzyılın sonlarında, antika satıcısı ve arkeolog Edgar Banks, Osmanlı İmparatorluğu sona ererken Güneydoğu Avrupa’dan yüzlerce çivi yazılı tablet satın aldı. Daha sonra bu tabletleri dünya çapındaki müzelere ve koleksiyonculara sattı. New Yorklu yayıncı George Arthur Plimpton, Plimpton 322’yi Banks’tan yalnızca 10 dolara satın aldı.

Tablet, 1936’daki ölümünden kısa bir süre öncesine kadar Plimpton’ın kişisel mülkiyetinde kaldı ve bunun üzerine Columbia Üniversitesi’ne bağışlandı.

Bu tablet on beş Pisagor üçlüsünden oluşur. Bu tabletin en etkileyici yanı küçük olması ve birçok gravürün bulunmasıdır. Tüm bu Pisagor üçlüleri 60 tabanına kazınmıştı. Bir Pisagor üçlüsü, aşağıdaki Pisagor denklemini çözmeye yarayan üç pozitif tam sayıdan oluşan bir kümedir.

2 + b 2 = c 2

Örneğin, en yaygın Pisagor üçlüsü 3, 4, 5 değerlerini içerir. Denkleme uygulandığında 3 2 +4 2 =5 2 elde ederiz , bu da 9+16=25 sonucunu verir.

Çok sayıda başka Pisagor üçlüsü var. En yaygın olarak tanınan üçlülerden bazıları şunlardır:

  • 5, 12, 13 (5 2 + 12 2 = 13 2 )
  • 7, 24, 25 (7 2 + 24 2 = 25 2 )
  • 8, 15, 17 (8 2 + 15 2 = 17 2 )
  • 9, 40, 41 (9 2 + 40 2 = 41 2 )
  • 11, 60, 61 (11 2 + 60 2 = 61 2 )

Pisagor üçlülerinin bir listesinin bulunması, o dönemde Pisagor teoremi olarak adlandırılmayan Pisagor teoremi üzerinde kapsamlı analizlerin yapıldığını ortaya koymaktadır. Bu üçlüler, matematikçilerin bu matematiksel kavram üzerinde çalıştıklarını ve farklı sonuçlar elde etmek için çeşitli sayıları denediklerini gösteriyor.

İM 67118

Son olarak Db2-146 olarak da anılan IM 67118 var. M.Ö. 1770 yılına tarihlenen bir Babil kil tabletidir. IM 67118 metin, bir diyagram içerir ve bir dikdörtgenin alanını ve köşegen uzunluğunu belirlemeye yardımcı olur. Metin, Pisagor teoremini kullanarak çözümün son bölümünü açıklamaktadır.  Diğer tabletler ayrıca Pisagor teoreminin, Pisagor’un “onu keşfeden” ünlü akademisyen olmasından 1000 yıl önce nasıl uygulandığını da gösteriyor.

Artık bu denklemin asıl kaynağının Pisagor olmadığını anladığımıza göre bu denklem nereden geldi? Peki, önce Pisagor’u bu denklemin arkasındaki deha olarak selamlayan çalışmalara bakalım. Teoremin çivi yazılı tabletlere kazınmasından 1000 yıl sonra, MÖ 570 civarında doğdu. Öğretileri bize Rodoslu Eudemus, Crotonalı Philolaus ve İtalya’nın Tarentumlu arşivcilerinden kopyalanan eserlerden alıntılardan geliyor.

Antik tarihçiler Pisagor’un İtalya’da doğduğunu ve babasıyla birlikte Samos’a göç ettiğini belirtmektedir. Herodot ve İsokrates gibi bazı antik yazarlar yazılarında Pisagor’un Mısır’a seyahat ettiğini belirtmektedirler. Ayrıca antik yazar Aristoxenus, Pisagor’un MÖ 535 civarında Polycrates’in zulmü Samos’u kuşattığında Samos’tan ayrıldığını yazmıştır. Dolayısıyla onun doğuya seyahat ettiğini, hatta Hindistan dahil Asya’da da zaman geçirdiğini anlıyoruz. Yıllar süren seyahatlerinin ardından İtalya’nın güneydoğu kıyısındaki Crotona’ya yerleşti ve burada felsefe ve matematik öğretmeye başladı. Zamanının birçok filozofu gibi onun eserleri de öğrencileri tarafından yazılmıştır.

Ek olarak, Hypatia hakkındaki podcast’imde bahsettiğim Aristoxenus, Dicaearchus ve Iamblichus dahil olmak üzere diğer antik akademisyenler Pisagor hakkında yazdılar. İlginçtir ki Pisagor’a en yakın dönemde yaşayan tek filozof Platon’dur. Üstelik Platon yazılarında ondan yalnızca bir kez bahsetmişti. Böylece Pisagor seyahat etti ve önde gelen bir filozof oldu.

Dikkate değer olan şey, bu teoremin MÖ sekizinci yüzyıl civarında Hindistan’da, Baudhāyana tarafından yazılan Sulbasutra adlı Vedik Sanskritçe metinde de mevcut olmasıdır. Baudhāyana büyük olasılıkla Hindistan’da yaşayan ve Dharma’yı, günlük aktiviteleri, ritüelleri ve matematiği kapsayan birkaç Sanskritçe metin yazan bir Vedik Hindu bilginiydi. Pisagor teoreminin bir varyasyonunu içeren metin Sulbasutra’dır. Baudhāyana, Pisagor’un doğmasından 300 yıl önce Hindistan’da bu denklem hakkında yazan ilk kişilerden biri olmasına rağmen, diğer Vedik rahipler de Baudhāyana’dan sonra bu denklem hakkında yazdılar.

Ayrıca bu teorem Çin’de GouGu olarak biliniyor. Huang Di olarak bilinen Efsanevi Tanrı, Sarı İmparator’un MÖ 2600 civarında hüküm sürdüğü zamanı anlatan bir masal vardır; bakanı Li Shou’yu, Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm anlamına gelen Jiu Jang Suan Shu, 九章算术 adlı bir çalışma bütünü derleme sorumluluğuyla görevlendirdi. Bu çalışmada GouGu, “dik üçgende iki sağ tarafın karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir” şeklinde açıklanmaktadır. Bu metinde a, b ve c etiketleri şu şekildedir:

a =

b =

c =

a (勾) Gou olarak adlandırılırken, b (股) Gu olarak adlandırılır ve c (弦) Xian olarak adlandırılır.

Hikaye bir tanrıya dayansa ve bir masalla iç içe olsa da, bu denklemin, bu teoremin Pisagor’dan çok önce var olduğu ve Mezopotamya dışında başka bölgelerde de var olduğu konusunda bazı gerçekler var. Hindistan’ın Baudhāyana’sı bu matematiksel uygulamanın bilgisini sözlü gelenek yoluyla aldı. Bazı bilim adamları bu teoremin MÖ 2000 gibi erken bir tarihte sözlü gelenek yoluyla aktarıldığını öne sürüyorlar.  Şimdi bu denklemin ve bu teoremin Pisagor’dan 1.500 yıl daha eski olma ihtimaline bakıyoruz. Yani başlangıçta düşündüğümüzden çok daha eski olabilir.

Bu anlayış Hindistan, Çin ve Mezopotamya arasında olası bir evrimsel bağlantıyı görmemizi sağlıyor. Dahası, bu algı bize bilgiyi paylaşmanın gücünü ve en anlayışlı atalarımızdan bazılarının dünyanın dört bir yanına göç ederken bu parlak fikirleri nasıl paylaştıklarını gösteriyor.

Bu açıklama beni her zaman ilk podcast’imden bu yana söylediğim şeye geri getiriyor: hepimiz matematikçiyiz ve matematik binlerce yıldır içgörülerimizde yer alıyor. Kadim atalarımız, bilgiyi paylaşmaya dayanan derin, entelektüel matematiksel düşünce yeteneğine sahipti. Bu çivi yazılı tabletler ve bunlarla ilgili açıklamalarımız, atalarımızın bu kadar ileri düzeyde bilgiye sahip olduklarının kanıtıdır. Aynı şekilde, biz de pek çok ilerlemeye muktediriz. Ve ben sadece matematikteki ilerlemeden bahsetmiyorum. Aynı zamanda barışçıl bir dünyaya yönelik evrimlerden de bahsediyorum. Çünkü bunu da başarabileceğimizi düşünüyorum.

Dik Üçgenler – Pisagor Teoremi 


Pisagor teoremi ilk olarak eski Babil ve Mısır’da (MÖ 1900’lerden başlayarak) biliniyordu. Bu ilişki, şu anda Plimpton 322 olarak bilinen 4000 yıllık bir Babil tabletinde gösteriliyordu. Ancak, Pisagor bunu açıkça ifade edene kadar ilişki geniş çapta duyurulmadı.

Pisagor

Pisagor M.Ö. 6. yüzyılda Ege Denizi’ndeki Samos adasında yaşadı. Ayrıca Mısır, Babil ve Güney İtalya’da da yaşadı. Pisagor bir öğretmen ve filozoftu.

 


 

Pisagor, dik açılı bir üçgen için (açılardan biri 90 ° olan ), hipotenüsün karesinin diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olduğunu buldu: 2 +b 2 =c 2 .

 

 

Başka bir deyişle, yeşil karenin alanı (c2 alanıyla birlikte ) diğer iki karenin toplamına eşittir. Bu tam olarak sarı karenin alanı (a 2 ) artı mavi karenin (b 2 ) alanıdır.

 

 

 

Şimdi döşeme desenine bir göz atın.

[Pisagor Teoreminin ispatı aşağıdaki şekildedir.]

 

 

Karelerin içindeki üçgenleri sayın. Yeşil üçgenlerin sayısı sarı ve mavi üçgenlerin toplamına eşittir!


 

Biliyor musunuz

Arkeologlar saha kazılarında Pisagor yöntemini kullanırlar. Kazıya başladıklarında saha yüzeyinin üzerine dikdörtgen bir ızgara yerleştiriyorlar. Doğru bir ızgara sistemi oluşturmak için arkeologlar X 2 +Y 2 =Z 2 Teoremini kullanırlar . Taban çizgilerinin (X ve Y eksenleri) ne kadar uzun olması gerektiğine karar verdikten sonra, çeyreğin orantısız bir paralelkenar değil bir dikdörtgen olduğundan emin olmak için köşegenin uygun uzunluğu Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır. Daha sonra sitenin doğru konumunu işaretlemek için köşe kazıkları yerleştirilecektir.

Üst üste binen dikdörtgen ızgara, Kartezyen koordinat sistemi adı verilen matematiksel bir fikri kullanır.

 

 

Kil tablet, IM 67118, matematiksel, geometrik-cebirsel, Pisagor teoremine benzer. Tell al-Dhabba'i, Irak'tan. MÖ 2003-1595. Irak Müzesi
Kil tablet, IM 67118, matematiksel, geometrik-cebirsel, Pisagor teoremine benzer. Tell al-Dhabba’i, Irak’tan. MÖ 2003-1595. Irak Müzesi

 

M 67118 , aynı zamanda Db 2 -146 olarak da bilinir , Irak Ulusal Müzesi koleksiyonunda bulunan, alanı ve köşegeni belirli bir dikdörtgenle ilgili düzlem geometrisindeki bir problemin çözümünü içeren bir Eski Babil kil tabletidir . Metnin son bölümünde Pisagor teoremi kullanılarak çözümün doğruluğu kanıtlanmıştır . Çözümün adımlarının, eski Mezopotamyalıların daha erken bir zamanda Pisagor teoremini türetmiş olabileceği öne sürülen bir diyagramı içeren kes-yapıştır geometri işlemlerini temsil ettiğine inanılıyor.

Tablet, 1962 yılında , bir zamanlar Eşnunna krallığının bir parçası olan, modern Bağdat yakınlarındaki Eski Babil yerleşim yeri Tell edh-Dhiba’i’de kazıldı ve aynı yıl Taha Baqir tarafından yayımlandı..

-Hammurabi’nin Babil’i yönettiği aynı zamanda Eşnunna’yı da yöneten II. İbal-pi-el’in hükümdarlığı dönemine ( orta kronolojiye göre) yaklaşık olarak MÖ 1770’e tarihlenir .  Tablet 11,5×6,8×3,3 cm (4½” x 2¾” x 1¼”) boyutlarındadır.  Dili Akkadçadır ve çivi yazısı ile yazılmıştır . Tabletin ön yüzünde 19, ön yüzünde ise altı satırlık metin bulunmaktadır. Ters tarafta ayrıca problemin dikdörtgeni ve köşegenlerinden birinden oluşan bir diyagram bulunur.Bu köşegen boyunca uzunluğu altmışlık gösterimle yazılır , dikdörtgenin alanı köşegenin altındaki üçgen bölgeye yazılır. 

Modern matematik dilinde, tablette ortaya çıkan problem şudur: Bir dikdörtgenin alanı A  = 0,75 ve köşegeni c  = 1,25’tir. Dikdörtgenin kenarlarının a ve b uzunlukları nedir ?

Çözümün iki aşamada ilerlediği düşünülebilir: 1. aşamada miktar�2−2�0,25 olarak hesaplanır. 2. aşamada, b  −  a  = 0,25, ab = 0,75 denklem sistemini etkili bir şekilde çözmek için, iyi kanıtlanmış Eski Babil’in kareye tamamlama yöntemi kullanılır  . [6] Geometrik olarak bu, Eski Babil matematiğinde tekrarlanan bir problem olan, alanı A ve kenar uzunluğu farkı b – a bilinen bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını hesaplama problemidir . [7] Bu durumda b  = 1 ve a = 0,75 bulunur  . Çözüm yöntemi, çözümü geliştiren kişinin 2  − 2 A  =  2  − 2 ab  = ( b  −  a ) 2 özelliğini kullandığını öne sürer . Bununla birlikte, denklemler için modern gösterimlerin ve parametrelerin ve bilinmeyenlerin harflerle temsil edilmesi uygulamasının eski zamanlarda duyulmamış olduğu vurgulanmalıdır. Jens Høyrup’un Eski Babil matematiği kelime dağarcığı üzerine yaptığı kapsamlı analizin bir sonucu olarak, IM 67118 gibi metinlerdeki prosedürlerin altında sembolik bir cebir değil, bir dizi standart kes-yapıştır geometrik işlemler olduğu artık yaygın olarak kabul edilmektedir . . 

IM 67118 çözümü için olası geometrik temel. Şeklin düz çizgileri aşama 1’i göstermektedir; Kesikli çizgiler ve gölgeleme aşama 2’yi göstermektedir. Merkezi karenin kenarı b  –  a’dır . Açık gri bölge, A  =  ab alanının gnomonudur . Koyu gri kare (( b  −  a )/2 kenarının) gnomonu ( b  +  a )/2 kenarının karesine tamamlar . Tamamlanan karenin yatay boyutuna ( b  −  a )/2 eklemek ve bunu dikey boyuttan çıkarmak istenen dikdörtgeni üretir.

Çözümün sözlüğünden Høyrup, köşegenin karesi olan c2’nin geometrik bir kare olarak anlaşılması gerektiği ve buradan 2 A’ya eşit bir alanın “kesileceği”, yani kaldırılacağı ve geriye bir alan bırakılacağı sonucuna varır. kenarı b  –  a olan kare . Høyrup, köşegendeki karenin muhtemelen dikdörtgenin her biri 90° döndürülmüş dört kopyasının yapılmasıyla oluşturulduğunu ve 2A alanının köşegendeki karenin içerdiği dört dik üçgenin alanı olduğunu öne sürüyor. Geriye kalan, şeklin ortasındaki küçük karedir.

Alanı A verilen bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve kenar uzunluğu farkı b  −  a’yı hesaplamak için kullanılan geometrik prosedür,  ½( b  −  boyutlarında dikdörtgen bir parça keserek dikdörtgeni A alanlı bir gnomon’a dönüştürmekti. a ) ve bu parçayı dikdörtgenin kenarına yapıştırın. Daha sonra gnomon, kenar uzunluğu ½( b  –  a ) olan daha küçük bir kare eklenerek bir kareye tamamlandı.  Bu problemde tamamlanan karenin bir kenarı şu şekilde hesaplanır:�+14(�−�)2=0,75+0.015625=0,875Daha sonra ½( b  −  a )=0,125 miktarı karenin yatay tarafına eklenir ve dikey taraftan çıkarılır. Ortaya çıkan çizgi parçaları istenen dikdörtgenin kenarlarıdır.

Eski Babil geometrik diyagramlarını yeniden oluşturmanın zorluklarından biri, diyagramların sıklıkla problem formülasyonlarına dahil edilmesine rağmen, bilinen tabletlerin çözümlerde asla diyagramlara yer vermemesidir (metinde açık yapıların açıklandığı geometrik çözümlerde bile). Høyrup, kes-yapıştır geometrisinin kilden başka bir ortamda, belki kumda ya da bir “toz abaküs” üzerinde, en azından geometrik hesaplamayla ilgili zihinsel beceri gelişmeden önce bir katibin eğitiminin ilk aşamalarında gerçekleştirilmiş olabileceğini savunuyor. gelişmiş. [12] [13]

Friberg, iki eşmerkezli eşkenar üçgeni ayıran bandın üç yamuğa bölündüğü MS 2192 de dahil olmak üzere “şekiller içinde şekiller” çizimleri içeren bazı tabletleri tanımlamaktadır. Şöyle yazıyor: ” Üçgen bir bandın alanını bir yamuk zincirinin alanı olarak hesaplama fikri, kare bir bandın alanını dört dikdörtgenden oluşan bir zincirin alanı olarak hesaplama fikrinin bir çeşididir. Bu basit bir hesaplamadır. ” Bu fikir muhtemelen Eski Babil matematikçileri tarafından biliniyordu, ancak bu fikrin açık bir şekilde girdiği çivi yazılı matematik metni henüz bulunamadı.” Bu fikrin IM 67118 metninde örtülü olduğunu ileri sürmektedir .Aynı zamanda iki eşmerkezli karenin gösterildiği YBC 7329 diyagramı ile bir karşılaştırma yapılmasını önermektedir. Bu tablette kareleri ayıran bant dört dikdörtgene bölünmemiş ancak dikdörtgenlerden birinin alanının sayısal değeri şeklin yanında görünüyor.

b  = 1, a = 0,75 çözümünün  doğruluğu, karelerin alanları ile karşılık gelen kenar uzunlukları hesaplanıp, bu alanlar toplanarak ve karenin kenar uzunluğunu elde edilen alanla hesaplayarak, yani kareyi alarak kanıtlanır. kök. Bu Pisagor teoreminin bir uygulamasıdır,�=�2+�2ve sonuç verilen değere uygundur, c  = 1,25.  Alanın da doğru olduğu  ab çarpımı hesaplanarak doğrulanır .

Aşağıdaki çeviri Britton, Proust ve Shnider tarafından yapılmıştır ve Høyrup’un çevirisine dayanmaktadır, bu çeviri de bazı küçük düzeltmelerle birlikte Baqir’in [18] el nüshasına ve harf çevirisine dayanmaktadır.

Babil’deki altmışlık sayılar, virgülle ayrılmış 60 tabanlı basamaklarla ondalık gösterime çevrilir. Dolayısıyla 1,15, 1 + 15/60 = 5/4 = 1,25 anlamına gelir. Babil sisteminde “altmışlık nokta” bulunmadığına dikkat edin, bu nedenle bir sayıyı çarparak 60’ın genel kuvvetinin bağlamdan çıkarılması gerekiyordu..

Çeviri “uygundur” ve Eleanor Robson tarafından tanımlandığı gibi , “Babil teknik terimlerinin orijinal anlamlara mümkün olduğunca yakın bir şekilde eşleşen mevcut İngilizce kelimeler veya neolojizmlerle tutarlı bir şekilde çevrilmesini içerir”; aynı zamanda Akkadca kelime sırasını da korur .

Eski Babil matematiği, altta yatan geometrik bağlama bağlı olarak çarpma için ve diğer aritmetik işlemler için de benzer şekilde farklı kelimeler kullanıyordu.

Ön yüz

  1. Eğer, yaklaşık bir (dikdörtgen ile) köşegen, (birisi) sana sorarsa
  2. yani 1,15 köşegen, 45 yüzey;
  3. uzunluk ve genişlik neye karşılık geliyor? Siz, yaptığınız işlemlerle,
  4. 1,15, köşegeniniz, karşılığı uzanıyor:
  5. tutmalarını sağlayın: 1,33,45 geliyor,
  6. 1,33,45 (?) elini tutabilir (?)
  7. Yüzeyiniz ikiye 45: 1,30 çıkıyor.
  8. 1,33,45’ten kesim: 3,45 [20] kalan.
  9. 3,45’in eşit kenarı: 15 çıkıyor. Onun yarım kısmı,
  10. 7,30 geliyor, 7,30’a zam: 56,15 geliyor
  11. 56,15 eliniz. 45 elinizin üzerindeki yüzeyiniz,
  12. 45,56,15 geliyor. 45,56,15’in eşit tarafı:
  13. 52,30 geliyor, 52,30 karşılığı uzanıyor,
  14. Birine tuttuğunuz 7,30
  15. ekleme: birinden
  16. ayırmak. 1 uzunluğunuz, 45 genişliğiniz. Uzunluk 1 ise
  17. 45 genişlik, yüzey ve köşegen neye karşılık gelir?
  18. (Sizin) yapımınız, uzunluğun korunmasını sağlar:
  19. (1 gelir…) başınız tutsun.

Tersi

  1. […]: 45, genişlik, tutma:
  2. 33,45 geliyor. Uzunluğunuza şunu ekleyin:
  3. 1,33,45 geliyor. 1,33,45’in eşit tarafı:
  4. 1,15 geliyor. 1,15 diyagonaliniz. Uzunluğunuz
  5. Genişliğe kadar, yüzeyinizin 45’i kadar yükseltin.
  6. Böylece prosedür.

Sorunun tanımı 1-3. satırlarda, çözümün 1. aşaması 3-9. satırlarda, çözümün 2. aşaması 9-16. satırlarda ve çözümün doğrulanması 16-24. satırlarda verilmektedir. “Köşegeninizin 1,15’i, karşılığı uzansın: onları tutun” ifadesinin, köşegenin dik kopyalarını yerleştirerek bir kare oluşturmak anlamına geldiğini, “eşit kenarın” bir karenin kenarı veya alanının karekökü olduğunu unutmayın. , “başın tutsun” hatırlamak anlamına gelir ve “elin” “bir yastık veya hesaplama cihazı” anlamına gelebilir.

Friberg tarafından yayınlanan Schøyen koleksiyonundaki MS 3971 tabletindeki Problem 2 , IM 67118’deki problemin aynısıdır. Çözüm çok benzer ancak c2’ye çıkarmak yerine A ekleyerek ilerliyor. Bu durumda ortaya çıkan karenin kenarı b  +  a = 1,75’e eşittir. b  +  a  = 1,75, ab = 0,75 denklem sistemi  yine kareye tamamlanarak çözülür. MS 3971 herhangi bir diyagram içermez ve doğrulama adımını gerçekleştirmez. Dili “kısa”dır ve Akkadca heceli “ayrıntılı” IM 67118’e kıyasla birçok Sümer logogramı kullanır.  Friberg bu metnin güney Irak’taki Uruk’tan geldiğine inanıyor ve onu MÖ 1795 öncesine tarihlendiriyor. 

Friberg , Parker tarafından 1972’de yayınlanan, MÖ 3. yüzyıldan kalma bir Mısır Demotik papirüsü olan P. Kahire’de , 34 ve 35. problemlerde benzer bir soruna dikkat çeker Friberg aynı zamanda AA Vaiman’ın Eski Kitap’taki bir girişe ilişkin açıklamasıyla olası bir bağlantı da görür. “57 36, šàr sabiti” yazan Babil sabitleri tablosu TMS 3. Vaiman, šàr’ın çivi yazısı işaretinin, önerilen şekilde olduğu gibi, kare şeklinde düzenlenmiş dört dik üçgenden oluşan bir zincire benzediğini belirtiyor. Hipotenüsün uzunluğu 1’e normalize edilmiş 3-4-5 dik üçgen varsayılırsa böyle bir zincirin alanı 24/25’tir (altmışlık olarak 57 36’ya eşit ) . MS 1116 tarihli bir İbranice el kitabında da tam olarak aynı şekilde çözülmüştür”.

IM 67118’deki sorun, kenarları ve köşegeni 3-4-5 dik üçgeninin ölçekli bir versiyonunu oluşturan belirli bir dikdörtgenle ilgili olsa da, çözümün dili geneldir ve genellikle her sayının işlevsel rolünü olduğu gibi belirtir. kullanılmış. Metnin ilerleyen kısımlarında yer yer soyut bir formülasyon görülüyor ve belirli değerlere atıfta bulunulmuyor (“uzunluk tutar”, “Uzunluğunun genişliğe oranı artıyor.”). Høyrup bunda “soyut formülasyonda ‘Pisagor kuralının’ şaşmaz bir izini” görüyor.

Pisagor kuralının keşif şekli bilinmemektedir, ancak bazı bilim adamları IM 67118’de kullanılan çözüm yönteminde olası bir yol görmektedir. c2’den 2 A’yı çıkarmanın ( b  −  a ) 2’yi verdiği gözleminin yalnızca bir a ile güçlendirilmesi gerekir. 2 , 2 ve −2 A  = −2 ab’ye karşılık gelen alanların geometrik olarak yeniden düzenlenmesi , modern zamanlarda iyi bilinen ve aynı zamanda MS 3. yüzyılda Zhao Shuang’ın yorumunda önerilen kuralın yeniden düzenleme kanıtını elde etmek için Antik Çin Zhoubi Suanjing ( Zhou Gnomon’u ) hakkında.  MS 3971, problem 2’deki çözümün, çıkarılmış alanlara sahip olmayan formülasyonu, muhtemelen daha da basit bir türetme sağlar.

Høyrup, kısmen geniş bir zaman ve mekan yelpazesinde yeniden ortaya çıkan sözlü problemler arasındaki benzerliklere ve bu tür problemlerin dil ve sayısal içeriğine dayanarak, eski Babil matematik materyalinin çoğunun pratik araştırmacı geleneğinden ithal edildiği hipotezini önermektedir. Bilmece problemlerini çözmenin mesleki becerinin bir rozeti olarak kullanıldığı yer. Høyrup, bu kadastrocu kültürünün, Hititlerin MÖ 16. yüzyılın başlarında Mezopotamya’yı fethinden kaynaklanan Eski Babil yazı kültürünün çöküşünden sonra da hayatta kaldığına ve antik Yunan’ın, Seleukos döneminde Babil’in ve İslam imparatorluğunun matematiğini etkilediğine inanıyor. ve ortaçağ Avrupa’sının.  Høyrup’un bu pratik kadastro geleneğine atfettiği problemler arasında, IM 67118 problemi de dahil olmak üzere, kareye tamamlamayı gerektiren çeşitli dikdörtgen problemleri yer almaktadır.  Pisagor kuralına ilişkin M.Ö. Høyrup, IM 67118’in formülasyonunun halihazırda kâtip kültürüne uyarlandığını yazıyor: ” Yalnızca bu kanıttan yola çıkarak Pisagor kuralının, muhtemelen problemin bir yan ürünü olarak, sıradan araştırmacıların ortamında keşfedilmiş olması muhtemeldir. Db 2-146’da , MÖ 2300 ile 1825 arasında bir yerde tedavi edilmiştir.”  Böylece , M.Ö. 570 civarında doğan ve M.Ö. 495 civarında ölen Pisagor’un adını taşıyan kuralın ,  doğumundan yaklaşık 12 yüzyıl önce keşfedildiği gösterilmiştir.

Bir Cevap Yazın

Bu site, istenmeyenleri azaltmak için Akismet kullanıyor. Yorum verilerinizin nasıl işlendiği hakkında daha fazla bilgi edinin.

CAFEMEDYAM sitesinden daha fazla şey keşfedin

Okumaya devam etmek ve tüm arşive erişim kazanmak için hemen abone olun.

Okumaya devam et